Ідея заснувати премію професора Андрія Бокотея виникла в колекціонера українського сучасного мистецтва, китайського бізнесмена Ю Яоміня. Він озвучив її в грудні 2017 р. під час візиту до Львова. Натхненник і фундатор багатьох арт-проєктів, спрямованих на розвиток китайського й українського мистецтва, зокрема й журналу "7UA", Ю Яомінь зацікавився художнім склом відносно недавно, коли відвідав 10-й Міжнародний симпозіум гутного скла у Львові у 2016 р. Уже під час першої розмови щодо премії, її вирішили спрямувати на молодих художників-склярів. Адже молоде українське скло потребує особливої уваги й опіки, якщо ми плануємо зберегти та продовжити традиції української школи. До участі в першому конкурсі на премію проф. Андрія Бокотея 2018 р. зголосилося 28 художників, більшість яких – студенти кафедри художнього скла Львівської національної академії мистецтв (далі ЛНАМ). Під час обговорення робіт журі конкурсу, на чолі з президентом Національної академії мистецтв України професором Андрієм Чебикіним, було одностайним щодо першого місця. Перемогу здобув Кирило Білан, автор композиції "Бермудський трикутник". Нагородою стала участь у відкритті Музею скла у Нінбо (КНР) у жовтні 2018 р., водночас робота увійшла до експозиції цього закладу. Ще дві роботи, які посіли друге та третє місця, також помандрували до Китаю і доповнили колекцію новоствореного Музею скла: "Гра в ірраціоналізм" Руслана Лучка та "Мереживо суцільності" Андрія Чижова. Автори, натомість, отримали грошову винагороду в розмірі 20 000 і 10 000 грн відповідно. Приємно, що на момент проведення конкурсу обидва молоді склярі були ще студентами, які активно працюють та беруть участь у різних мистецьких проєктах, до слова, пов’язаних не лише з художнім склом.
До участі в конкурсі на премію професора Андрія Бокотея у 2019 р. зголосилися 17 молодих митців. Серед експонованих у Музеї скла конкурсних робіт вже вдруге виразно прочитувалась різноманітність технік: гута, склеювання,спікання, вітраж, розпис. Переможцем Премії професора Андрія Бокотея 2019 року став студент четвертого курсу кафедри художнього скла ЛНАМ Руслан Лучко з композицією "Суб’єктивні тіла". Наступні призові місця посіли роботи випускниць кафедри Ольги Турецької "На хвилі життя" та Наталії Сірої "Золото". Роботи переможців традиційно доповнили колекцію Чженцзянського музею скла "Ґрінвейв", а нагородою для Руслана Лучка стала участь у відкритті нової галереї мистецтв у м. Усі в червні 2019 р.
Організаторам премії у 2020 р. надійшло 32 заявки від митців, серед яких також випускники інших мистецьких закладів України. Переможницею конкурсу на Премію професора Андрія Бокотея у 2020 р. стала мисткиня Інна Делієва з роботою "AMPHORA21". Ваза склеєна зі шматочків скла розбитих пляшок, які авторка власноруч зібрала на узбережжі Чорного моря: "відшліфовані піском, морем та часом...". Друге місце журі присвоїло викладачу кафедри художнього скла ЛНАМ Остапу Іванишину за роботу "Плаваючі мрії блакитного сома", виконану у техніці спікання та холодної обробки. Третє призове місце посіла робота випускника кафедри монументально-декоративної скульптури ЛНАМ Василя Гриневича під назвою "Череп Адама", виконана у техніці спікання.
Конкурс на Премію Андрія Бокотея у 2021 р. проходив за підтримки Українського культурного фонду, що дало змогу суттєво зміцнити формат і забезпечити широке висвітлення проєкту. Упродовж трьох місяців у Музеї скла у Львові експонувалися творчі роботи двадцяти учасників конкурсу на здобуття Премії Андрія Бокотея. Робота Наталії Парщик "Безголосся" отримала преміальні бали від усіх без винятку його членів, залишивши конкурентів далеко позаду. Незважаючи на камерність і мінімалізм формального чи колористичного вирішення, власне ця композиція закликає глядача до певного медитативного спостереження, формування власної історії, сягання по спогади чи асоціації. До нових зірок вітчизняної склярської сцени належить призерка другої премії, випускниця магістратури кафедри художнього скла Юлія Галишин. Абсолютно тендітна, для багато кого майже непомітна та до болю делікатна чорно-біла робота вводить у певний дисонанс своєю назвою "Приховані наміри". Титул призера третього місця Премії Андрія Бокотея 2021 р. отримав студент магістратури кафедри художнього скла ЛНАМ Богдан Ломоносов за роботу "Сіль". Важливим аргументом на користь саме цього твору стала його відмінність, неординарність, простота й чистота відтворення вартостей матеріалу.
